채널 용량 계산 공식- Shannon의 정리, Nyquist 전송률 공식

무선설비기사 자격증을 공부하다가 채널용량에 대한 shannon의 정리와 Nyquist공식이 있어서 이에 대해 정리해보고자 한다.

 

채널용량이란?

 - 송신 측에서 수신 측으로 전송되는 정보량인 상호정보량의 최대치

 - 단위 시간당 전송할 수 있는 정보의 양

 - 채널용량(capacity)이 높을수록 많은 양의 정보를 빠르게 전달 가능

 - 단위는 [bps] 또는 [bit/s]

 

1. Shannon의 정리

채널상에 백색잡음이 존재한다고 가정한 상태에서 채널 용량을 구하는 공식, 아날로그 통신과 디지털 통신 모두에 적용할 수 있는 개념

Shannon의 정리

많은 양의 정보를 빠르게 전달하려면 대역폭이 넓으면 넓을수록 좋고, 신호대 잡음비가 좋으면 좋을수록 개선되겠죠. 공식을 좀 더 이해해 보겠습니다.

 

우선 밑이 2인 log를 사용하는 것은 1bit를 나타내기 위함입니다. 만약 S/N이 1이라면 어떻게 될까요?

1bit를 전송할 수 있게 되고 그럼 대역폭에 따라 얼마나 많은 데이터를 전송 가능한지가 나오겠죠.

 

 

동전 던지기 예시

동전 던지기를 예시로 들어볼까요?

앞면은 $, 뒷면은 ☆모양인 동전이 있습니다. 이 동전으로 전달할 수 있는 정보는 앞면, 또는 뒷면이죠. 따라서 B(채널대역폭)은 1/2입니다. S(신호전력)은 1(앞면이 나오거나 뒷면이 나올 확률)이며, N(잡음전력) 또한 1입니다. (앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률이 동일하므로)

 

이러한 사실을 바탕으로 Shannon의 정리를 이용하여 동전 던지기의 채널용량을 계산하면 아래와 같습니다.

C = (1/2) log₂(1 + 1)= 0.5

즉, 동전 던지기로 1초당 최대 0.5비트의 정보를 전달할 수 있음을 알 수 있습니다. 전송가능한 정보의 양은 1비트이고, 채널 용량은 0.5비트/초 가 됩니다.

 

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※예시 문제

Q. 다음은 채널 대역폭이 10kHz, 신호 대 잡음비가 30dB인 채널에서 전송할 수 있는 채널용량을 계산하라.

채널용량 공식에 대입하여 계산하면 아래와 같습니다.
C = B x log2(1 + S/N)
C = 10kHz x log2(1 + 10^(30/10))
C = 10kHz x log2(1 + 1000)
C = 10kHz x log2(1001)
C = 10kHz x 9.97
C ≈ 99.7 kbps

따라서, 채널 대역폭이 10kHz, 신호 대 잡음비가 30dB인 채널에서는 약 99.7 kbps의 정보를 전송할 수 있습니다.

 

 

2. Nyquist 전송률 공식

잡음이 없는 채널을 가정하고, 지연 왜곡에 의한 ISI에 근거하여 최대 용량을 산출한 공식. 오직 디지털신호에서만 적용 가능한 개념, 최대 전송 가능한 정보 전송률

 

잡음이 없는 디지털 통신이기 때문에 s/n이 공식에 없습니다. 그리고 대역폭 앞에 2가 곱해져 있는데 이것은 왜 그런 것일까요? 이유는 각 주파수 구간에서 양방향(양성 및 음성) 변화가 가능하다는 것을 고려한 전체 대역폭을 나타냅니다.

 

※예시 문제

Q. 어떤 이상적인 디지털 통신 채널의 대역폭이 4 kHz이고, 이 채널을 사용하여 16개의 서로 다른 신호 레벨을 전송하려고 합니다. 이 경우, 채널의 최대 전송률은 얼마입니까?

 

여기서 B는 대역폭(4 kHz)이고, L은 신호 레벨의 수(16)입니다.

C = 2 × 4,000 Hz × log₂(16)
C = 8,000 Hz × log₂(2^4)
C = 8,000 Hz × 4
C = 32,000 bps

따라서 이상적인 조건에서, 이 디지털 통신 채널의 최대 전송률은 32,000 비트/초(bps)입니다.

팁) 문제에 S/N비가 있으면 Shannon의 정리, 없으면 뉴키스트전송률 공식입니다.

 

 

 

이상으로 오늘의 포스팅 마치겠습니다.

내가 바라는 미래를 향해 매일 1을 쌓는 삶을 살자!!